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天才数学家伽罗华
文摘 于 May 02, 2002 at 21:21:15:
“我请求我的爱国同胞们,我的朋友们,不要指责我不是为我的国家而死。

  我是作为一个不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可耻的诽谤中结束我的生命。噢!为什么要为这么微不足道的,这么可鄙的事去死呢?我恳求苍天为我作证,只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。

  我亲爱的朋友,

  我已经得到分析学方面的一些新发现……

  在我一生中,我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了,我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。

  请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性(不是就定理的正确与否)发表他们的看法。然后,我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的一件事。

  热烈地拥抱你!”


  写下这封遗书的就是富有传奇色彩的天才数学家——E·伽罗华(E·Calois,1811-1832)

  1832年5月30日晨,在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人,过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤,就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点钟,这个可怜的年轻人离开了人世。那一天,巨星陨落,数学史上最年轻、最有创造性的头脑停止了思考。后来,一些最著名的数学家说,他的死使数学发展推迟了好几十年。


  天才的童年


    伽罗华是法国巴黎郊区一个小镇镇长的儿子。他的父亲是一个自由主义者,母亲受过良好的教育,是伽罗华的启蒙老师。12岁以前,伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的,在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。1923年伽罗华离开双亲,考入巴黎预科学校路易勒——格兰学院(皇家中学),从而开始接受正规学校的教育。在第三年,他报名选学了第一门数学课。由于他的老师深刻而生动的讲授,伽罗华对数学产生了浓厚的兴趣,他很快地学完了通常规定的课程,并求教于当时的数学大师。他如饥似渴地阅读了A·M·勒让德的《几何原理》和T·L·拉格朗日(history/person/psn047.shtml)的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》。由于他刻苦学习,能着重领会和掌握其中的数学思维方法,因此,这些功课的学习,使他思路开阔,科学创造的思维能力得到了训练和提高。他的中学数学专业班的老师里查说“伽罗华只宜在数学的尖端领域工作”。1829年3月他在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。这时的伽罗华还是一位中学生。他曾先后两次参加综合技术大学的入学考试,结果都落第了。1829年7月2日,正当伽罗华准备入学考试的时候,他父亲由于受不了牧师的攻击、诽谤,自杀了。这些遭遇都给伽罗华带来了不幸。1829年10月25日,他只被师范大学录取为预备生。


数学世界的顽强斗士


  伽罗华有着天生的数学头脑,在他还只有17岁时,就已经开始着手研究数学中最困难的问题之一“一般n次方程求解问题”。学习过高等数学的人都知道,一般的二次方程的解,要求对系数的一个函数求方根。要得出三次方程的一般解,要求对系数的函数开立方。如此这般,四次方程的解,要求开四次方。一般的五次方程的解是否也能用加减乘除开方这五种运算持代数方法从方程的系数得出呢?许多人为之耗去许多精力,但都失败了。这一问题当时已困扰数学界达300年之久。法国另一位著名数学家拉格朗日称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。1770年,拉格朗日对上述问题的研究才算迈出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解结构之后,提出了方程的预解式概念,并且还进一步看出预解式和诸根排列置换下形式不变性有关,这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后,挪威数学家阿贝尔(history/person/psn001.shtml)利用置换群的理论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公式不存在的严格证明。伽罗华在前人研究成果的基础上,利用群论的方法,从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想,即把预解式的构成同置换群联系起来,并在阿贝尔研究的基础上,进一步发展了他的思想,把全部问题转化成或者归结为置换如及其子群结构的分析上。高斯早就预见到代数方程的根式解的问题终归为二项方程的求解问题。伽罗华仔细分析了具有根式解的二项方程作为“预解方程”时所对应的置换子群的特征。结果他发现,如果一个群可以生成一系列极大正规子群,而它们的合成因子是质数,则该群是可解的。当大于四次的代数方程所对应的群的合成因子就不全是质数,因而五次及高于五次的代数方程有些是不能用代数方法解出的。

  1829年,伽罗华在他中学最后一年快要结束时,他把关于群论研究的初步结果的第一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。他在一封信中写道:“今天我应当向科学院提交一份关于年轻的伽罗华的工作报告……。但因病在家,我很遗憾未能出席今天的会议,希望你安排我参加下次会议以讨论已指明的议题。”然而,第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时,并未介绍伽罗华的著作。这是一个非常微妙的“事故”。

  1830年2月,伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了,以参加科学院的数学大奖评选,论文寄给当时科学院终身秘书J·B·傅立叶,但傅立叶在当年5月就去世了,在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样,伽罗华递交的两次数学论文都被遗失了。

  1831年1月,伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上,又得到一个结论,他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数学家S·D·泊松为理解这篇论文绞尽脑汁,传说,泊松看这篇论文,看了4个月,最后在论文上批道:“完全不能理解”。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的,但最后他还是建议科学院否定它。

  对事业必胜的信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失,得不到应有的支持,但他并没有灰心,他坚持他的科研成果,不仅一次又一次地想办法传播出去,还进一步向更广的领域探索。


巨星陨落


  伽罗华诞生在拿破仑帝国时代,经历了波旁王朝的复辟时期,又赶上路易·腓力浦朝代初期,他是当时最先进的革命政治集团——共和党的成员。这时法国激烈的政治斗争吸收了年轻热情的伽罗华。他反对学校的苛刻校规,抨击校长在七月政变中的两面行为,以至于1830年2月被开除。之后,他进一步积极参加政治活动,第二年6月,伽罗华以“企图暗杀国王”的罪名被捕。由于警方没有证据,不久即被释放。7月,被反动王朝视为危险分子的伽罗华再次被抓。他在狱中曾遭暗枪射击,幸未击中。1831年4月伽罗华被释放出狱。

  出狱后不久,1831年5月29日,年轻气盛的伽罗华卷入了另一场风波。他为了所谓的“爱情与荣誉”打算和另外一个人决斗。伽罗华的心里非常清楚。他知道对手的枪法很好,自己获胜的希望很小,很可能会死去。他问自己,如何度过这最后的夜晚?在这之前,他曾写过两篇数学论文,但都被权威轻蔑地拒绝了:一次是被伟大的数学家柯西;另一次是被神圣的法兰西科学院,但他坚信他头脑中的东西是有价值的。整个晚上,他把飞逝的时间用来焦躁地一气写出他在科学上的遗言。在死亡之前尽快地写,把他丰富的思想中那些伟大的东西尽量写出来。他不时中断,在纸边空白处写上“我没有时间,我没有时间”,然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西,一劳永逸地为一个折磨了数学家们几个世纪的问题找到了真正的答案,并且开创了数学的一个极为重要的分支。

  伽罗华对自己的成果充满自信。他在信中对朋友薛伐里叶说:“你可以公开请求雅可比或者高斯,不是对这些定理的真实性,而是对于其重要性表示意见。在这以后,我希望有一些人将会发现,把这堆东西注释出来对他们是有益的。”

  第二天上午,在决斗场上,伽罗华被打穿了肠子。死之前,他对在他身边哭泣的弟弟说:

  “不要哭,我需要足够的勇气在20岁的时候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕沟内,所以今天他的坟墓已无踪迹可寻。他不朽的纪念碑是他的著作,由两篇被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿组成。

  历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨遭的爱情事件的结局,还是出于政治动机造成的,但无论是哪一种,一位世界上最杰出的数学家在他20岁时被杀死了,他研究数学才只有5年。


群论——跨越时代的创造


  伽罗华的重大创造在生前始终没有机会发表。直到1846年,也就是他死后14年,法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想,他花了几个月的时间试图解释它的意义。最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想,写了《论置换与代数方程》一书,在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。

  伽罗华的最主要成就是提出了群的概念,用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题,而且由此发展了一整套关于群和域的理论,为了纪念他,人们称之为伽罗华理论。这个理论的大意是:每个方程对应于一个域,即含有方程全部根的域,称为这方程的伽罗华域,这个域对应一个群,即这个方程根的置换群,称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系;当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时,这方程是根式可解的。作为推论,可以得出五次以上一般代数方程根式不可解以及用圆规、 直尺(无刻度的尺)三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。伽罗华理论对近代数学的发展产生了深远影响,它已渗透到数学的很多分支中。此外,伽罗华还研究过所谓“伽罗华虚数”,即有限域的元素,因此又称有限域为伽罗华域。

  对伽罗华来说,他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战,他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻,他才敢于并能够以崭新的方式去思考,去描述他的数学世界。也正因如此,他才受到了冷遇。在这里,我们后人感受到的是一种孤独与悲哀,一种来自智慧的孤独与悲哀。但是,历史的曲折并不能埋没真理的光辉。今天由伽罗华开始的群论,不仅对近代数学的各个方向,而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。




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